Đặt:

μ =   x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle \mu ={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}

bất đẳng thức tương đương với
x1,...,xn là các số thực không âm, ta có:

μ n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle \mu ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\,}

dấu bằng xảy ra nếu μ = xi với mọi i = 1,...,n.

Chứng minh dưới đây áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + một số thực không âm. Ta có:

( n + 1 ) μ =   x 1 + ⋯ + x n + x n + 1 . {\displaystyle (n+1)\mu =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.\,}

Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: xn > μ và xn+1 < μ. Ta có:

( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 . ( ∗ ) {\displaystyle (x_{n}-\mu )(\mu -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}

Xét n số sau:

x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}'} với x n ′ = x n + x n + 1 − μ ≥ x n − μ > 0 , {\displaystyle x_{n}'=x_{n}+x_{n+1}-\mu \geq x_{n}-\mu >0\,,}

cũng là số không âm. Từ đó:

n μ = x 1 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ , {\displaystyle n\mu =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\mu } _{=\,x_{n}'},}

μ cũng là trung bình cộng của x 1 , … , x n − 1 , x n ′ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}'} và theo giả thuyết quy nạp ta có

μ n + 1 = μ n ⋅ μ ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ′ μ . ( ∗ ∗ ) {\displaystyle \mu ^{n+1}=\mu ^{n}\cdot \mu \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}'\mu .\qquad (**)}

Mặt khác từ (*) ta có

( x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ ) μ − x n x n + 1 = ( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0 , {\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\mu } _{=\,x_{n}'})\mu -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\mu )(\mu -x_{n+1})>0,}

hay là

x n ′ μ > x n x n + 1 , ( ∗ ∗ ∗ ) {\displaystyle x_{n}'\mu >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}

hiển nhiên μ > 0. Nếu có ít nhất một trong x1,...,xn−1 bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:

μ n + 1 > x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 , {\displaystyle \mu ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}

bất đẳng thức được chứng minh.